自适应龙格-库塔法在地球变形模拟中的应用

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作者 秦明 徐建桥 +3 位作者 周江存 刘清超 龚立卓 杨伟伟 《地球物理学报》 北大核心 2025年第1期96-110,共15页

高精度的地球变形理论模拟是理解地球变形过程、解释观测数据和反演地球内部结构的重要依据.本文基于自适应龙格-库塔理论,发展了一种多初始解条件下的误差控制算法,并应用于地表负荷变形问题以及地球简正模的计算.该方法通过矩阵变换... 高精度的地球变形理论模拟是理解地球变形过程、解释观测数据和反演地球内部结构的重要依据.本文基于自适应龙格-库塔理论,发展了一种多初始解条件下的误差控制算法,并应用于地表负荷变形问题以及地球简正模的计算.该方法通过矩阵变换实现截断误差的统一控制,从而获得精确的数值解.结果表明,对于均质模型1000阶负荷勒夫数的计算,自适应龙格-库塔法RK8(7)和RK5(4)相较于4阶龙格-库塔法(RK4),精度提升了约两个数量级,同时计算速度分别提高了20倍和5倍.对于PREM模型更高阶负荷勒夫数的计算,RK4方法的收敛性差,绝对误差最大为1×10^(-4)量级,而RK8(7)随着阶数的增加逐渐趋于渐近解.在对初始解和初始积分位置优化后,龙格-库塔法可将负荷勒夫数计算至1000万阶,精度至少达到1×10^(-7).当容许误差设置为1×10^(-6)时,RK8(7)计算的地球简正模本征周期的绝对误差基本在1×10^(-6) s,且在阶数为250时,其计算速度是RK4的17.42倍.最后,通过与Mineos结果的对比验证,本方法求解本征周期的精度至少达到1×10^(-3) s的量级.其中,Slichter模的本征周期与其他数值方法及观测周期的绝对误差分别为0.0055 h和0.0156 h,进一步说明了本方法的精确性和可靠性. 展开更多

关键词 自适应龙格-库塔 地球变形 负荷勒夫数 简正模 Slichter模

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一种基于成对显式龙格-库塔时间积分的大气平流算法

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作者 孙朝阳 陈春刚 +1 位作者 李兴良 沈学顺 《高原气象》 CSCD 北大核心 2024年第2期520-528,共9页

为解决大气输送仿真中保形、正定及计算效率等问题,本研究发展了基于水平-多矩有限体积/垂直-有限差分混合格式和显式成对龙格-库塔方法的高效、高保真平流方程时空离散方案。为去除高阶算法在间断分布附近产生的数值振荡,平流方案在水... 为解决大气输送仿真中保形、正定及计算效率等问题,本研究发展了基于水平-多矩有限体积/垂直-有限差分混合格式和显式成对龙格-库塔方法的高效、高保真平流方程时空离散方案。为去除高阶算法在间断分布附近产生的数值振荡,平流方案在水平和垂直方向分别使用了基于加权本质无振荡(weighted essentially non-oscillatory,WENO)和总变差减小(total variation diminishing,TVD)方法的斜率限制器。在时间积分中,算法使用了二阶成对显式龙格-库塔方法,通过在垂直方向增加内循环中空间离散调用次数增大求解器可用CFL数。成对龙格-库塔时间积分方法能有效缓解大气模式垂直小网格距对积分时间步长的限制,使水平、垂直方向稳定性条件允许的最大时间步长尽可能接近,从而改善模式计算效率。论文中还设计了可用于库朗(Courant-Friedrichs-Lewy,CFL)数大于1情形的迭代正定修正算法,能保证平流方程计算结果严格非负。本文采用二维标准算例对所提出的平流方程算法进行了测试和比较分析。数值试验结果表明:本文提出的算法为解决高分辨、可扩展非静力大气模式中平流输送高保真计算难题提供了一条有效途径。 展开更多

关键词 平流方程 成对显式龙格-库塔方法 斜率限制器 正定算法 多矩方法

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多步龙格-库塔方法的τ_1-稳定性 被引量：3

3

作者 李建国 李爱雄 +1 位作者 王洪山 黄枝姣 《华中科技大学学报（自然科学版）》 EI CAS CSCD 北大核心 2002年第8期101-103,共3页

分析了标量延迟微分方程系统渐近稳定性的不同条件 ,给出了与延迟量τ有关及不依赖于延迟量τ的不同渐近稳定域 .在渐近稳定域与τ有关的条件下 ,对多步龙格 库塔方法的渐近稳定性进行了分析 ,定义了一种新的数值稳定性 ,即τ1 稳定性 ... 分析了标量延迟微分方程系统渐近稳定性的不同条件 ,给出了与延迟量τ有关及不依赖于延迟量τ的不同渐近稳定域 .在渐近稳定域与τ有关的条件下 ,对多步龙格 库塔方法的渐近稳定性进行了分析 ,定义了一种新的数值稳定性 ,即τ1 稳定性 ,在不同的条件下 。 展开更多

关键词 延迟微分方程 多步龙格库塔法 τ1-稳定性 初值问题 稳定域

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PPV中极化子动力学方程的龙格-库塔求解 被引量：2

4

作者 赵俊卿 贾振锋 +6 位作者 张天佑 丁猛 乔士柱 陈莹 季燕菊 张宁玉 付刚 《计算物理》 EI CSCD 北大核心 2011年第5期743-748,共6页

构造求解一阶微分方程组初值问题的八阶龙格-库塔递推公式,结合描述有机分子运动的一维紧束缚模型,研究PPV原子链中极化子的形成及运动.对碳原子数N=160的PPV原子链,由可控步长八阶龙格-库塔公式求解2N(2N+1)=102 720个方程组成的方程组... 构造求解一阶微分方程组初值问题的八阶龙格-库塔递推公式,结合描述有机分子运动的一维紧束缚模型,研究PPV原子链中极化子的形成及运动.对碳原子数N=160的PPV原子链,由可控步长八阶龙格-库塔公式求解2N(2N+1)=102 720个方程组成的方程组,用Fortran语言编程计算,得到稳定的极化子结构和运动图像;在场强E=1×105 V.cm-1的电场作用下,极化子沿分子链的运动速率约为0.263 5.fs-1.计算结果表明,八阶龙格-库塔方程可以有效地用于有机分子链中载流子运动的模拟. 展开更多

关键词 八阶龙格-库塔公式 PPV 极化子 FORTRAN

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点隐式龙格-库塔方法的应用研究 被引量：2

5

作者 李典 杨永 《航空计算技术》 2011年第3期66-70,共5页

为了提高求解器的效率,在显式龙格-库塔时间推进的欧拉方程求解器之上,发展了点隐式龙格-库塔时间推进格式。给出了其推导过程和非结构网格下中心格式和迎风格式(Roe和Van Leer格式)预处理算子的构造方法。NACA0012翼型和RAE2822翼型的... 为了提高求解器的效率,在显式龙格-库塔时间推进的欧拉方程求解器之上,发展了点隐式龙格-库塔时间推进格式。给出了其推导过程和非结构网格下中心格式和迎风格式(Roe和Van Leer格式)预处理算子的构造方法。NACA0012翼型和RAE2822翼型的跨音速无粘流动模拟表明:与显式龙格-库塔方法相比,方法能提高求解效率且内存需求相当,具有一定的工程应用价值。 展开更多

关键词 显式龙格-库塔方法 点隐式龙格-库塔方法 欧拉方程

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双腔光反馈干涉激光系统中Lang-Kobayashi方程的六阶龙格-库塔算法

6

作者 于芳星 姬波 +2 位作者 CHENG Quanrun 卢红星 柳宏川 《郑州大学学报（工学版）》 CAS 北大核心 2021年第5期37-43,共7页

双腔光反馈干涉(OFI)系统常用于移动物体的高灵敏度感测,其动态行为可通过求解Lang-Kobayashi(L-K)方程进行描述,而求解精度会对系统准确性产生决定性影响。为了提高双腔OFI系统对移动物体的测量精度,提出一种求解L-K方程的六阶龙格-库... 双腔光反馈干涉(OFI)系统常用于移动物体的高灵敏度感测,其动态行为可通过求解Lang-Kobayashi(L-K)方程进行描述,而求解精度会对系统准确性产生决定性影响。为了提高双腔OFI系统对移动物体的测量精度,提出一种求解L-K方程的六阶龙格-库塔算法。通过分析微分方程数值解法的原理,在四阶龙格-库塔算法的基础上选取更多区间点计算积分曲线的斜率平均值,使其更接近于真实值以进一步提高求解精度。同时,设计并实现了基于光电信号双腔OFI系统的移动物体运动检测仿真软件并进行仿真实验,将六阶龙格-库塔算法分别与欧拉法、四阶龙格-库塔算法的仿真结果进行对比分析。实验结果表明:该算法与欧拉法相比,求解精度平均提高了约22%;与四阶龙格-库塔算法相比,求解精度平均提高了约6%。六阶龙格-库塔算法可以提高L-K方程的求解精度,从而生成更精确的仿真结果,提高双腔OFI系统的感测灵敏度。 展开更多

关键词 双腔OFI系统 Lang-Kobayashi方程 六阶龙格-库塔算法 仿真软件

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基于四阶龙格-库塔公式的火控系统瞄准角修正模型 被引量：7

7

作者 徐亚军 王钰 宋贤龙 《火力与指挥控制》 CSCD 北大核心 2020年第5期111-114,124,共5页

目前我军装甲突击车辆火控系统的弹道解算模型采用了线性多项式拟合的方法,且应用弹道刚性原理忽略了炮目高低角对射击精度的影响,其射表没有编制大炮目高低角射击时瞄准角的修正量,导致在进行大炮目高低角射击时,首发命中率受到了一定... 目前我军装甲突击车辆火控系统的弹道解算模型采用了线性多项式拟合的方法,且应用弹道刚性原理忽略了炮目高低角对射击精度的影响,其射表没有编制大炮目高低角射击时瞄准角的修正量,导致在进行大炮目高低角射击时,首发命中率受到了一定的影响,客观上制约了其火力性能的发挥。对此,利用四阶龙格-库塔公式,建立了对含有炮目高低角的外弹道方程直接进行数值求解的数学模型,得到更为精确的瞄准角,并通过matlab编程计算出瞄准角偏差量,从根本上解决大射角射击时弹道刚性原理产生的误差。 展开更多

关键词 四阶龙格- 库塔公式 装甲突击车辆 火控系统 瞄准角

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非线性泛函积分微分方程的多步龙格-库塔方法的耗散性 被引量：1

8

作者 张艳 《上海大学学报（自然科学版）》 CAS CSCD 北大核心 2020年第3期456-471,共16页

研究了非线性泛函积分微分方程系统数值解的耗散性,给出了关于这类方程的多步龙格-库塔方法的耗散性的充分条件,进一步利用数值算例验证了该方法的主要结果.

关键词 泛函积分微分方程 多步龙格-库塔方法 耗散性 代数稳定性 动力系统

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全隐式龙格库塔法求解点堆动力学方程 被引量：4

9

作者 王伟吉 叶金亮 方成跃 《核科学与工程》 CSCD 北大核心 2014年第3期289-295,共7页

强刚性问题时数值求解点堆中子动力学方程组的难点之一。该文用基于高斯-勒让特求积公式节点的全隐式龙格库塔法(简称GLFIRK)求解点堆动力学方程组。该方法是B稳定的,而且计算精度高,对于E级GLFIRK,其计算精度为2E阶。该文在阶跃、线性... 强刚性问题时数值求解点堆中子动力学方程组的难点之一。该文用基于高斯-勒让特求积公式节点的全隐式龙格库塔法(简称GLFIRK)求解点堆动力学方程组。该方法是B稳定的,而且计算精度高,对于E级GLFIRK,其计算精度为2E阶。该文在阶跃、线性和正弦等不同反应性加入条件下对点堆动力学方程组进行了计算,计算结果表明,该方法计算精度高、计算速度较快、适应能力较好,可满足一定的工程应用要求。 展开更多

关键词 高斯-勒让特求积公式节点 全隐式龙格库塔法 点堆动力学方程 Gauss-Legendre QUADRATURE NODES (GL)

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求解DDEs的多导龙格库塔方法的渐近稳定性 被引量：1

10

作者 李爱雄 刘伟丰 +1 位作者 张诚坚 李建国 《华中科技大学学报（自然科学版）》 EI CAS CSCD 北大核心 2002年第6期108-110,共3页

从求解常微分方程 (ODEs)的多导龙格 库塔方法出发 ,研究了求解延迟微分方程 (DDEs)的多导龙格 库塔方法的渐近稳定性 ,得到求解DDEs的多导龙格 库塔方法的P(α) 稳定性等价于求解ODEs的多导龙格 库塔方法的A(α) 稳定性的结论 ,并... 从求解常微分方程 (ODEs)的多导龙格 库塔方法出发 ,研究了求解延迟微分方程 (DDEs)的多导龙格 库塔方法的渐近稳定性 ,得到求解DDEs的多导龙格 库塔方法的P(α) 稳定性等价于求解ODEs的多导龙格 库塔方法的A(α) 稳定性的结论 ,并得到一个推论 :当且仅当解ODEs的多导龙格 库塔方法是A 稳定的时候 ,解DDEs的多导龙格 库塔方法是P 展开更多

关键词 DDEs 多导龙格-库塔方法 渐近稳定性 延迟微分方程

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基于四阶龙格—库塔算法的NURBS曲线插补 被引量：2

11

作者 刘高领 朱海星 刘振忠 《工具技术》 2019年第8期74-79,共6页

为了提高数控机床的精密加工能力,提出了基于四阶龙格—库塔算法的NURBS曲线插补方法。该方法通过使用四阶龙格—库塔算法求解NURBS曲线节点矢量,得到更高精度的NURBS曲线节点矢量增量,并采用后向差分法代替微分求导的复杂计算过程,提高... 为了提高数控机床的精密加工能力,提出了基于四阶龙格—库塔算法的NURBS曲线插补方法。该方法通过使用四阶龙格—库塔算法求解NURBS曲线节点矢量,得到更高精度的NURBS曲线节点矢量增量,并采用后向差分法代替微分求导的复杂计算过程,提高NURBS曲线插补的稳定性,通过弓高和最大加速度约束插补步长的方法对NURBS曲线插补步长进行限制,减小插补误差对该插补算法的影响。NURBS曲线插补算法过程运用MATLAB软件进行仿真及数据分析处理,验证了该NURBS曲线插补方法的合理性和可行性。 展开更多

关键词 四阶龙格-库塔 NURBS曲线 插补算法 数控机床

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一维非线性系统FPK方程的TVD Runge-Kutta WENO型差分解 被引量：3

12

作者 王文杰 封建湖 《动力学与控制学报》 2018年第3期206-210,共5页

首先研究了非线性随机动力系统所对应的Fokker-Planck-Kolmogorov(FPK)方程.其次,讨论了微分方程的三阶TVD Runge-Kutta关于时间的离散差分格式以及关于空间离散的五阶Weighted Essentially nonOscillatory(WENO)差分格式,并将其相结合... 首先研究了非线性随机动力系统所对应的Fokker-Planck-Kolmogorov(FPK)方程.其次,讨论了微分方程的三阶TVD Runge-Kutta关于时间的离散差分格式以及关于空间离散的五阶Weighted Essentially nonOscillatory(WENO)差分格式,并将其相结合,得到FPK方程的TVD Runge-Kutta WENO差分解,并与FPK方程的精确解进行了比较.数值结果表明,该方法具有良好的稳定性,且可以解决其他方法在概率密度峰值处偏小,而在尾部处较大等缺点. 展开更多

关键词 非线性系统 FPK方程 有限差分法 tvd龙格-库塔格式 ENO格式 WENO格式

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七方程可压缩多相流模型的HLLC格式及应用 被引量：5

13

作者 梁姗 刘伟 袁礼 《力学学报》 EI CSCD 北大核心 2012年第5期884-895,共12页

针对Saurel和Abgrall提出的两速度两压力的七方程可压缩多相流模型,改进了其数值解法并应用于模拟可压缩多介质流动问题.在Saurel等的算子分裂法基础上,根据Abgrall的多相流系统应满足速度和压力的均匀性不随时间改变的思想,推导了与HLL... 针对Saurel和Abgrall提出的两速度两压力的七方程可压缩多相流模型,改进了其数值解法并应用于模拟可压缩多介质流动问题.在Saurel等的算子分裂法基础上,根据Abgrall的多相流系统应满足速度和压力的均匀性不随时间改变的思想,推导了与HLLC格式一致的非守恒项离散格式以及体积分数发展方程的迎风格式.进一步,通过改变分裂步顺序,构造了稳健的结合算子分裂的三阶TVD龙格--库塔方法.最后通过几个一维和二维高密度比高压力比气液两相流算例,显示了该方法在计算精度和稳健性上的改进效果. 展开更多

关键词 可压缩多相流 七方程模型 算子分裂 HLLC格式 tvd龙格-库塔

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二维双曲守恒律标量方程的三阶CWENO-型熵相容算法 被引量：6

14

作者 郑素佩 封建湖 刘彩侠 《计算机应用》 CSCD 北大核心 2012年第10期2745-2747,2751,共4页

应用提出的中心加权基本无振荡(CWENO)-型熵相容格式求解了二维双曲守恒律方程初边值问题,对所得数值结果进行了分析与讨论,并通过与准确解的比较发现该数值求解格式稳定性条件可以取到0.6,而激波过渡带只有1～2个网格单元。实验结果表... 应用提出的中心加权基本无振荡(CWENO)-型熵相容格式求解了二维双曲守恒律方程初边值问题,对所得数值结果进行了分析与讨论,并通过与准确解的比较发现该数值求解格式稳定性条件可以取到0.6,而激波过渡带只有1～2个网格单元。实验结果表明该数值求解格式分辨率高且数值稳定性好。 展开更多

关键词 熵守恒格式 熵相容格式 三阶优化龙格库塔方法 半离散 双曲守恒律

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含分布时滞的时滞微分系统多步龙格-库塔方法的时滞相关稳定性 被引量：1

15

作者 丛玉豪 胡洋 王艳沛 《计算数学》 CSCD 北大核心 2019年第1期104-112,共9页

本文研究了一类含分布时滞的时滞微分系统的多步龙格-库塔方法的稳定性.基于辐角原理,本文给出了多步龙格-库塔方法弱时滞相关稳定性的充分条件,并通过数值算例验证了理论结果的有效性.

关键词 含分布时滞的时滞微分系统 多步龙格-库塔方法 弱时滞相关稳定性

原文传递

耦合广义非线性薛定谔方程的相互作用表象龙格库塔算法及其误差分析 被引量：3

16

作者 李磐 时雷 毛庆和 《物理学报》 SCIE EI CAS CSCD 北大核心 2013年第15期195-200,共6页

本文通过表象变换,将耦合广义非线性薛定谔方程(C-GNLSE)变换成相互作用表象中的向量方程,再利用向量形式的4阶龙格-库塔迭代格式,建立了一种在频域内求解C-GNLSE的同步更新迭代算法.通过将该向量形式的相互作用表象中的4阶龙格-库塔(V-... 本文通过表象变换,将耦合广义非线性薛定谔方程(C-GNLSE)变换成相互作用表象中的向量方程,再利用向量形式的4阶龙格-库塔迭代格式,建立了一种在频域内求解C-GNLSE的同步更新迭代算法.通过将该向量形式的相互作用表象中的4阶龙格-库塔(V-JH-RK4IP)算法应用于高双折射光子晶体光纤中超连续谱产生的数值模拟,验证了算法的有效性,通过与现有其他典型算法的比较,表明以V-JH-RK4IP算法求解C-GNLSE具有最高的计算精度和计算效率. 展开更多

关键词 耦合广义非线性薛定谔方程(C-GNLSE) 相互作用表象 4阶龙格-库塔算法 超连续谱产生

原文传递

大跨度桥梁颤振后状态气动稳定性 被引量：11

17

作者 王骑 廖海黎 +1 位作者 李明水 马存明 《西南交通大学学报》 EI CSCD 北大核心 2013年第6期983-988,共6页

为了能对大跨度桥梁颤振后主梁的运动形式给出合理解释,选取大振幅下流线型箱梁断面的4种典型非线性气动力工况,基于非线性气动力和非线性振动微分方程,应用四阶龙格-库塔算法,分析了大跨度桥梁主梁在大振幅条件下的气动稳定性.结果表明... 为了能对大跨度桥梁颤振后主梁的运动形式给出合理解释,选取大振幅下流线型箱梁断面的4种典型非线性气动力工况,基于非线性气动力和非线性振动微分方程,应用四阶龙格-库塔算法,分析了大跨度桥梁主梁在大振幅条件下的气动稳定性.结果表明:大跨度桥梁主梁在颤振后的不同振幅和折算风速条件下可出现不同的运动形式;若气动力仅做负功或负功显著大于正功,主梁振动将收敛;若气动力仅做正功或正功显著大于负功,主梁振动将发散;若气动力做的正负功相当,主梁振动将由于结构阻尼缓慢收敛;若气动力正功与相同周期内结构消耗的能量相等,主梁将发生等幅振动;若不考虑气动力的非线性项,桥梁振动可能发散. 展开更多

关键词 颤振后 非线性微分方程 四阶龙格-库塔算法 非线性气动稳定性

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四阶高分辨率熵相容算法 被引量：4

18

作者 郑素佩 封建湖 《计算机应用》 CSCD 北大核心 2013年第9期2416-2418,2427,共4页

针对一维Burgers方程和一维Euler方程组的数值求解问题,提出了一种四阶高分辨率熵相容算法。新算法时间方向采用半离散方式,空间方向应用四阶中心加权基本无振荡(CWENO)重构方法,数值通量引入Ismail通量函数,将新的四阶算法应用于静态... 针对一维Burgers方程和一维Euler方程组的数值求解问题,提出了一种四阶高分辨率熵相容算法。新算法时间方向采用半离散方式,空间方向应用四阶中心加权基本无振荡(CWENO)重构方法,数值通量引入Ismail通量函数,将新的四阶算法应用于静态激波问题、激波管问题以及强稀疏波问题的数值求解中,并将所得结果同准确解以及已有算法所得结果进行了分析与比较。数值结果表明:新算法计算结果正确、分辨率高,能够准确捕捉激波及稀疏波,并能有效避免膨胀激波的产生。新算法适用于准确解决一维Burgers方程和一维Euler方程组的数值求解问题。 展开更多

关键词 双曲守恒律方程 半离散方法 四阶格式 优化龙格-库塔法

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舰艇横摇进水过程姿态参数数值求解与实验研究 被引量：2

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作者 侯岳 鄢凯 浦金云 《中国舰船研究》 2014年第4期44-49,共6页

目前在进行破损舰艇进水过程姿态计算的理论和实验研究时,主要还是针对静水情况进行分析,而未考虑舰艇横摇运动下进水过程的姿态计算。基于此,首先以横摇运动的进水过程为研究对象,建立横摇运动微分方程组;然后,在对时间域进行离散化的... 目前在进行破损舰艇进水过程姿态计算的理论和实验研究时,主要还是针对静水情况进行分析,而未考虑舰艇横摇运动下进水过程的姿态计算。基于此,首先以横摇运动的进水过程为研究对象,建立横摇运动微分方程组;然后,在对时间域进行离散化的基础上,使用"四阶龙格—库塔"公式建立数值求解算法;最后,对模型及求解算法进行船模实验验证。设计的实验包括3个不同的进水模式,船模实验结果表明了模型和算法的准确性。所建立的模型和算法可直接用于舰艇横摇运动的仿真,并能为横摇过程中的舰艇稳性计算提供支撑。 展开更多

关键词 横摇 进水过程 时域模型 姿态计算 四阶龙格-库塔

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一种特殊摆的研究 被引量：1

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作者 王艳海 魏江南 +3 位作者 孟义昌 张玉 马乾伟 摆永强 《河北科技大学学报》 CAS 2018年第3期238-242,共5页

为了解决交通运输和工业行业中移动重物的起重机动臂和支撑点不稳定的摆动幅度问题,采用一个悬挂点在水平面内做圆周运动的摆球系统模型来模拟这一问题的动力学过程。应用拉格朗日方程推导了摆球运动的微分方程,采用四阶龙格-库塔算法... 为了解决交通运输和工业行业中移动重物的起重机动臂和支撑点不稳定的摆动幅度问题,采用一个悬挂点在水平面内做圆周运动的摆球系统模型来模拟这一问题的动力学过程。应用拉格朗日方程推导了摆球运动的微分方程,采用四阶龙格-库塔算法进行了数值求解,得到了给定悬挂点圆周运动半径、频率和摆长的条件下,摆球做稳定圆周运动的摆角,计算了摆球的稳定运动轨迹,并将计算结果与实验进行了对比,理论计算和实验结果精确吻合。研究内容在科研和工程技术领域有着广泛的应用,研究结果对起重机的机械吊臂设计有重要的参考价值。同时,文中所用到的理论建模、计算机编程、数值计算、实验设计等也可以作为一个非常好的教学案例,培养学生应用所学理论解决实际问题的能力。 展开更多

关键词 理论力学 圆周运动 拉格朗日方程 四阶龙格-库塔算法

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